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////////// //////// // // // /////////////
//#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <list>
#include <stack>
#include <array>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <bitset>
#include <random>
#include <numeric>
#include <functional>
//#include <Windows.h>
using namespace std;
#define fa(i,op,n) for (int i = op; i <= n; i++)
#define fb(j,op,n) for (int j = op; j >= n; j--)
#define pb push_back
#define HashMap unordered_map
#define HashSet unordered_set
#define var auto
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define all1(i) i.begin() + 1,i.end()
#define endl '\n'
#define px first
#define py second
using VI = vector<int>;
using VL = vector<long long>;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using db = double;
using pii = pair<int, int>;
using pll = pair<ll, ll>;
template<class T1, class T2>
ostream& operator<<(ostream& out, const pair<T1, T2>& p) {
out << '(' << p.first << ", " << p.second << ')';
return out;
}
template<typename T>
ostream& operator<<(ostream& out, const vector<T>& ve) {
for (T i : ve)
out << i << ' ';
return out;
}
template<class T1, class T2>
ostream& operator<<(ostream& out, const map<T1, T2>& mp) {
for (auto i : mp)
out << i << '\n';
return out;
}
template<typename ...T>
bool _debug(T... a) {
((cout << a << ' '), ...);
cout << endl;
return -1;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LNF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int IINF = 0x7fffffff;
const int iinf = 0x80000000;
const ll LINF = 0x7FFFFFFFFFFFFFFF;
const ll linf = 0x8000000000000000;
int dx[8] = { 1, -1, 0, 0, 1, -1, 1, -1 };
int dy[8] = { 0, 0, 1, -1, 1, -1, -1, 1 };
//#include "Lynia.h"
namespace MyTools
{
template <typename T>
class Math;
template <const int T>
class ModInt;
namespace Geo {
template<typename T>
class Point;
template<typename T>
class Line;
template<typename T>
class Polygon;
template<typename T>
class Circle;
template<typename T>
using Vector = Point<T>;
template<typename T>
using Segment = Line<T>;
const double eps = 1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
// 浮点数 x 的符号
template<typename T>
int sgn(T x) {
if (fabs(x) < eps) return 0;
return x > 0 ? 1 : -1;
}
// 比较两个浮点数
template<typename T>
int cmp(T x, T y) {
if (fabs(x) < eps)return 0; // x == y,返回 0
else return x < y ? -1 : 1; // x < y,返回 -1; x > y,返回 1
}
double radians(double degrees) {
return degrees * PI / 180.0;
}
// 两点距离
template<typename T>
T dist(const Point<T>& A, const Point<T>& B) {
return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}
// 点积
template<typename T>
T dot(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
// a · b = |a| |b| cos
// 可用于判断两向量夹角
return A.x * B.x + A.y * B.y;
}
// 叉积
template<typename T>
T cross(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
// a · b = |a| |b| sin
// 可以判断两向量的相对方向
// 也能算两向量形成的平行四边形面积
return A.x * B.y - A.y * B.x;
}
// 向量长度
template<typename T>
T len(const Vector<T>& A) {
return sqrt(dot(A, A));
}
// 向量长度的平方
template<typename T>
T len2(const Vector<T>& A) {
return dot(A, A);
}
// 两向量夹角
template<typename T>
double angle(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
return acos(dot(A, B) / len(A) / len(B));
}
// 计算两向量构成的平行四边形有向面积
// 三个点A、B、C,以A为公共点,得到2个向量B-A和C-A,它们构成的平行四边形
template<typename T>
T area_parallelogram(const Point<T>& A, const Point<T>& B, const Point<T>& C) {
return -cross(B - A, C - A);
}
// 计算两向量构成的平行四边形有向面积
// 两个有公共点的向量 A B 构成的平行四边形
template<typename T>
T area_parallelogram(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
return -cross(A, B);
}
// 计算两向量构成的三角形有向面积
// 三个点A、B、C,以A为公共点,得到2个向量B-A和C-A,它们构成的三角形
template<typename T>
T area_triangle(const Point<T>& A, const Point<T>& B, const Point<T>& C) {
return -cross(B - A, C - A) / 2.0;
}
// 计算两向量构成的三角形有向面积
// 两个有公共点的向量 A B 构成的三角形
template<typename T>
T area_triangle(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
return -cross(A, B) / 2.0;
}
// 向量旋转
/*
特殊情况是旋转90度:
逆时针旋转90度:Rotate(A, pi/2),返回Vector(-A.y, A.x);
顺时针旋转90度:Rotate(A, -pi/2),返回Vector(A.y, - A.x)。
*/
template<typename T>
Vector<T> rotate(const Vector<T>& A, double rad) {
return Vector<T>(A.x * cos(rad) - A.y * sin(rad), A.x * sin(rad) + A.y * cos(rad));
}
// 有时需要求单位法向量,即逆时针转90度,然后取单位值。
template<typename T>
Vector<T> normal(const Vector<T>& A) {
return Vector<T>(-A.y / len(A), A.x / len(A));
}
// 两个向量是否平行或重合
template<typename T>
bool parallel(const Vector<T>& A, const Vector<T>& B) {
return sgn(cross(A, B)) == 0; // 返回true表示平行或重合
}
// 点和直线的位置关系
template<typename T>
int point_line_relation(const Point<T>& p, const Line<T>& v) {
int c = sgn(cross(p - v.p1, v.p2 - v.p1));
if (c < 0)return 1; // 1 :p在v的左边
if (c > 0)return 2; // 2 :p在v的右边
return 0; // 0 :p在v上
}
// 点和线段的位置关系
template<typename T>
bool point_segment_relation(const Point<T>& p, const Line<T>& v) {
// 0 点不在线段v上
// 1 点在线段v上
// 前者为 True 说明 p 和 线段 v 的一个端点连边,和 v 本身的夹角为 0,即 p 在 直线 v 上
// 后者为 True 说明 p 和两端点形成平角,也就是说 p 在两端点之间
return sgn(cross(p - v.p1, v.p2 - v.p1)) == 0 && sgn(dot(p - v.p1, p - v.p2)) <= 0;
}
// 点到直线的距离
template<typename T>
double point_line_dis(const Point<T>& p, const Line<T>& v) {
// 实际上是算了 p 和 v 的一个端点连边,然后和 v 形成的平行四边形的面积,除底得到
return fabs(cross(p - v.p1, v.p2 - v.p1)) / dist(v.p1, v.p2);
}
// 点在直线上的投影
template<typename T>
Point<T> point_line_proj(const Point<T>& p, const Line<T>& v) {
double k = dot(v.p2 - v.p1, p - v.p1) / len2(v.p2 - v.p1);
return v.p1 + (v.p2 - v.p1) * k;
}
// 点关于直线的对称点
template<typename T>
Point<T> point_line_symmetry(const Point<T>& p, const Line<T>& v) {
Point<T> q = point_line_proj(p, v);
return Point<T>(2 * q.x - p.x, 2 * q.y - p.y);
}
// 点到线段的距离
template<typename T>
double point_segment_dis(const Point<T>& p, const Segment<T>& v) {
// 先检查点 p 到线段 v 的投影是否在线段 v 上
// 如果在,就直接返回点 p 到直线 v 距离
// 如果不在,就返回线段 v 两端点里 p
// p 先和 v 的两端点比较,看看是否两向量夹角 > 90
if (sgn(dot(p - v.p1, v.p2 - v.p1)) < 0 || sgn(dot(p - v.p2, v.p1 - v.p2)) < 0)
return min(dist(p, v.p1), dist(p, v.p2)); // 点的投影不在线段上
return point_line_dis(p, v); // 点的投影在线段上
}
// 叉积判断两条向量的位置关系,AB * AC,两向量共点
template<typename T>
int vector_vector_relation(const Vector<T>& v1, const Vector<T>& v2) {
int sign = sgn(cross(v1, v2));
if (sign == 0)return 0; // 共线
if (sign > 0)return 1; // v2 在 v1 的逆时针方向
if (sign < 0)return 2; // v2 在 v1 的顺时针方向
}
// 叉积判断两条直线的位置关系
template<typename T>
int line_line_relation(const Line<T>& v1, const Line<T>& v2) {
if (sgn(cross(v1.p2 - v1.p1, v2.p2 - v2.p1)) == 0) {
if (point_line_relation(v1.p1, v2) == 0) return 1; // 1: 重合
else return 0; // 0: 平行
}
return 2; // 2: 相交
}
// 两向量夹角类型
template<typename T>
int vector_vector_angle_type(const Vector<T>& v1, const Vector<T>& v2) {
// 0:夹角度为 0
// 1:夹角为锐角
// 2:夹角为钝角
// 3:夹角为平角,即方向相反
var _dot = dot(v1, v2);
if (vector_vector_relation(v1, v2) == 0) { // 两向量共线
if (sgn(_dot) > 0)return 0;
else return 3;
}
else {
if (sgn(_dot) > 0)return 1;
else return 2;
}
}
// 两条直线的交点
template<typename T>
Point<T> line_line_cross_point(const Point<T>& a, const Point<T>& b, const Point<T>& c, const Point<T>& d) {
// Line1 : ab, Line2 : cd
double s1 = cross(b - a, c - a);
double s2 = cross(b - a, d - a); // 叉积有正负
return Point<T>(c.x * s2 - d.x * s1, c.y * s2 - d.y * s1) / (s2 - s1);
}
// 两条直线的交点
template<typename T>
Point<T> line_line_cross_point(const Line<T>& x, const Line<T>& y) {
// Line1 : ab, Line2 : cd
var a = x.p1;
var b = x.p2;
var c = y.p1;
var d = y.p2;
double s1 = cross(b - a, c - a);
double s2 = cross(b - a, d - a); // 叉积有正负
return Point<T>(c.x * s2 - d.x * s1, c.y * s2 - d.y * s1) / (s2 - s1);
}
// 两个线段是否相交
template<typename T>
bool segment_segment_is_cross(const Point<T>& a, const Point<T>& b, const Point<T>& c, const Point<T>& d) {
// Line1 : ab, Line2 : cd
double c1 = cross(b - a, c - a), c2 = cross(b - a, d - a);
double d1 = cross(d - c, a - c), d2 = cross(d - c, b - c);
return sgn(c1) * sgn(c2) < 0 && sgn(d1) * sgn(d2) < 0; // 1: 相交;0: 不相交
}
// 点和多边形的关系
template<typename T>
int point_polygon_relation(const Point<T>& pt, const Polygon<T>& p) {
// 点pt,多边形 p
int n = p.size();
for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举点
if (p[i] == pt) return 3; // 3:点在多边形的顶点上
}
for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举边
Line<T> v = Line<T>(p[i], p[(i + 1) % n]);
if (point_segment_relation(pt, v)) return 2; // 2:点在多边形的边上
}
// 通过射线法计算点是否在多边形内部 (具体原理可以看书)
int num = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int j = (i + 1) % n;
int c = sgn(cross(pt - p[j], p[i] - p[j]));
int u = sgn(p[i].y - pt.y);
int v = sgn(p[j].y - pt.y);
if (c > 0 && u < 0 && v >= 0) num++;
if (c < 0 && u >= 0 && v < 0) num--;
}
return num != 0; // 1:点在内部; 0:点在外部
}
// 计算多边形周长
template<typename T>
T polygon_perimeter(const Polygon<T>& p) {
T ans = 0;
int n = p.size();
for (int i = 0; i < n; i++)
ans += dist(p[i], p[(i + 1) % n]);
return ans;
}
// 多边形的面积
template<typename T>
T polygon_area(const Polygon<T>& p) {
/*
注意面积存在 正负
逆时针遍历点算出来就是正的
顺时针遍历点算出来就是负的
*/
T area = 0;
int n = p.size();
for (int i = 0; i < n; i++)
area += cross(p[i], p[(i + 1) % n]);
return area / 2;
}
// 多边形的重心
template<typename T>
Point<T> polygon_center_point(const Polygon<T>& p) { //求多边形重心
Point<T> ans(0, 0);
int n = p.size();
if (polygon_area(p, n) == 0) return ans;
for (int i = 0; i < n; i++)
ans = ans + (p[i] + p[(i + 1) % n]) * cross(p[i], p[(i + 1) % n]);
return ans / polygon_area(p, n) / 6;
}
/*
求凸包,凸包顶点放在ch中
凸多边形:是指所有内角大小都在 [0, 180] 范围内的简单多边形
凸包:在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包
*/
template<typename T>
Polygon<T> convex_hull(vector<Point<T>> p) {
Polygon<T> ch;
if (p.size() == 0 or p.size() == 1 or p.size() == 2) {
for (var& i : p) ch.pb(i);
return ch;
}
// Andrew 法:
// 先对所有点排序
// 求上下凸包 (查每个边相较于上一条边的拐弯方向)
// 然后合并
// 还有种方法叫 Graham 法,原理是极角排序
// 我们完全可以把凸包整出来然后直接极角排序一下就行
int n = p.size();
n = unique(p.begin(), p.end()) - p.begin(); // 去除重复点
ch.resize(2 * n);
sort(p.begin(), p.end()); // 对点排序:按 x 从小到大排序,如果 x 相同,按 y 排序
int v = 0;
// 求下凸包,如果p[i]是右拐弯的,这个点不在凸包上,往回退
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (v > 1 && sgn(cross(ch[v - 1] - ch[v - 2], p[i] - ch[v - 1])) <= 0)
v--;
ch[v++] = p[i];
}
// 求上凸包
for (int i = n - 1, j = v; i >= 0; i--) {
while (v > j && sgn(cross(ch[v - 1] - ch[v - 2], p[i] - ch[v - 1])) <= 0)
v--;
ch[v++] = p[i];
}
ch.resize(v - 1);
return ch;
}
// 点和圆的关系,根据点到圆心的距离判断
template<typename T>
int point_circle_relation(const Point<T>& p, const Circle<T>& C) {
double dst = dist(p, C.c);
if (sgn(dst - C.r) < 0) return 0; // 0: 点在圆内
if (sgn(dst - C.r) == 0) return 1; // 1: 圆上
return 2; // 2: 圆外
}
// 直线和圆的关系,根据圆心到直线的距离判断
template<typename T>
int line_circle_relation(const Line<T>& v, const Circle<T>& C) {
double dst = point_line_dis(C.c, v);
if (sgn(dst - C.r) < 0) return 0; // 0: 直线和圆相交
if (sgn(dst - C.r) == 0) return 1; // 1: 直线和圆相切
return 2; // 2: 直线在圆外
}
// 线段和圆的关系,根据圆心到线段的距离判断
template<typename T>
int segment_circle_relation(const Segment<T> v, const Circle<T> C) {
double dst = point_segment_dis(C.c, v);
if (sgn(dst - C.r) < 0) return 0; // 0: 线段在圆内
if (sgn(dst - C.r) == 0) return 1; // 1: 线段和圆相切
return 2; // 2: 线段在圆外
}
//pa, pb是交点。返回值是交点个数
template<typename T>
int line_cross_circle(const Line<T>& v, const Circle<T>& C, Point<T>& p1, Point<T>& p2) {
if (line_circle_relation(v, C) == 2) return 0; // 无交点
Point<T> q = point_line_proj(C.c, v); // 圆心在直线上的投影点
double d = point_line_dis(C.c, v); // 圆心到直线的距离
double k = sqrt(C.r * C.r - d * d);
if (sgn(k) == 0) { // 1个交点,直线和圆相切
p1 = q; p2 = q; return 1;
}
Point<T> n = (v.p2 - v.p1) / len(v.p2 - v.p1); // 单位向量
p1 = q + n * k; p2 = q - n * k;
return 2; // 2个交点
}
// 弧度制
template<typename T>
double circle_arc_area(const Circle<T>& c, const db& angle) {
return c.area() * angle / 360.0;
}
template<typename T>
double circle_area(const Circle<T>& c) {
return c.area();
}
// 极角排序
template<typename T>
void angle_polar_sort(vector<Point<T>>& points, const Point<T>& reference = Point<T>(0, 0)) {
sort(points.begin(), points.end(),
[&](const Point<T>& a, const Point<T>& b)
{ return a.polar_angle(reference) < b.polar_angle(reference); });
}
template<typename T>
class Point {
public:
T x, y;
Point(T x = 0, T y = 0) : x(x), y(y) {}
// this 点相较于 reference 点的极角
double polar_angle(const Point<T>& reference = Point(0, 0)) const {
return atan2(y - reference.y, x - reference.x);
}
T len() const { return sqrt(len2()); } // 向量长度
T len2() const { return (*this) * (*this); } // 向量长度的平方
Point operator- (const Point& B) const { return Point(x - B.x, y - B.y); }
Point operator+ (const Point& B) const { return Point(x + B.x, y + B.y); }
T operator^ (const Point<T>& B) const { return x * B.y - y * B.x; } // 叉积
T operator* (const Point<T>& B) const { return x * B.x + y * B.y; } // 点积
Point operator* (const T& B) const { return Point(x * B, y * B); }
Point operator/ (const T& B) const { return Point(x / B, y / B); }
bool operator< (const Point& B) const { return x < B.x || (x == B.x && y < B.y); }
bool operator> (const Point& B) const { return x > B.x || (x == B.x && y > B.y); }
bool operator== (const Point& B) const { return x == B.x && y == B.y; }
bool operator!= (const Point& B) const { return !(*this == B); }
friend ostream& operator<<(ostream& out, const Point& a) {
out << '(' << a.x << ", " << a.y << ')';
return out;
}
};
template<typename T>
class Line {
public:
Point<T> p1, p2; // 线上的两个点
Line() {}
Line(Point<T> p1, Point<T> p2) :p1(p1), p2(p2) {}
Line(Point<T> p, double angle) { // 根据一个点和倾斜角 angle 确定直线,0 <= angle < pi
p1 = p;
if (sgn(angle - PI / 2) == 0) { p2 = (p1 + Point<T>(0, 1)); }
else { p2 = (p1 + Point<T>(1, tan(angle))); }
}
Line(double a, double b, double c) { // ax + by + c = 0
if (sgn(a) == 0) {
p1 = Point<T>(0, -c / b);
p2 = Point<T>(1, -c / b);
}
else if (sgn(b) == 0) {
p1 = Point<T>(-c / a, 0);
p2 = Point<T>(-c / a, 1);
}
else {
p1 = Point<T>(0, -c / b);
p2 = Point<T>(1, (-c - a) / b);
}
}
friend ostream& operator<<(ostream& out, const Line<T>& a) {
out << "[" << a.p1 << ", " << a.p2 << "]";
return out;
}
};
template<typename T>
class Polygon : public vector<Point<T>> {
public:
Polygon() {}
Polygon(int n) :vector<Point<T>>(n) {}
// 多边形的周长
T Perimeter() {
T ans = 0;
int n = this->size();
for (int i = 0; i < n; i++)
ans += dist((*this)[i], (*this)[(i + 1) % n]);
return ans;
}
// 多边形的面积
T Area() {
T area = 0;
int n = this->size();
for (int i = 0; i < n; i++)
area += cross((*this)[i], (*this)[(i + 1) % n]);
return area / 2;
}
// 极角排序,默认逆时针排序
void Polar_angle_sort(const Point<T>& reference = Point<T>(0, 0)) {
sort(this->begin(), this->end(),
[&](const Point<T>& a, const Point<T>& b)
{ return a.polar_angle(reference) < b.polar_angle(reference); });
}
friend ostream& operator<<(ostream& out, const Polygon<T>& a) {
out << "[";
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
out << a[i] << ",]"[i == a.size() - 1];
return out;
}
};
template<typename T>
class Circle {
public:
Point<T> c; // 圆心
T r; // 半径
Circle() {}
Circle(Point<T> c, T r) :c(c), r(r) {}
Circle(T x, T y, T _r) { c = Point<T>(x, y); r = _r; }
double area() const { return PI * r * r; }
// 弧度制
double arc_area(const db& angle) const { return area() * angle / 360.0; }
friend ostream& operator<<(ostream& out, const Circle<T>& a) {
out << "(" << a.c << ", " << a.r << ")";
return out;
}
};
}
template<typename T>
class fast {
public:
// 使用 __int128 直接传入 T = __int128 就行
inline static T in()
{
T x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch>'9')
{
if (ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9')
x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
return x * f;
}
static void out(T x)
{
if (x < 0)
putchar('-'), x = -x;
if (x > 9)
out(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
return;
}
static void outln(T x)
{
out(x);
putchar('\n');
}
};
}
namespace MT = MyTools;
using Math = MT::Math<ll>;
#define geo MT::Geo
const int mod = 1e9 + 7;
using mint = MT::ModInt<mod>;
const int N = 1e6 + 10;
void solve(int CASE)
{
int n; cin >> n;
var p = geo::Polygon<__int128>();
fa(i, 1, n) {
ll x, y; cin >> x >> y;
p.pb({ x,y });
}
// 外凸包
var outer_hull = geo::convex_hull(p);
outer_hull.Polar_angle_sort(); // 极角排序
var&& outer_area = outer_hull.Area() * 2;
// 计算内凸包用
var vis = set<geo::Point<__int128>>();
for (var& point : outer_hull)vis.insert(point);
var np = geo::Polygon<__int128>();
for (var& point : p)if (!vis.count(point))np.pb(point);
// 内凸包
var inner_hull = geo::convex_hull(np);
inner_hull.Polar_angle_sort(); // 极角排序
if (inner_hull.size() == 0) {
cout << -1 << endl;
return;
}
__int128 ans = 0;
for (int i = 0, j = 0; i < outer_hull.size(); i++) {
// i 枚举外凸包边,j 枚举内凸包点
// 找面积最小三角形
// 即找到 u 边距离最小的 j 点
// 这边的双指针为 O(n),因为都排过序了,一旦出现距离大的直接跳出 枚举 j 的循环
int nxt = (i + 1) % outer_hull.size();
var u = geo::Vector<__int128>(outer_hull[nxt] - outer_hull[i]);
var v1 = geo::Vector<__int128>(inner_hull[j] - outer_hull[i]);
var v2 = geo::Vector<__int128>(inner_hull[(j + 1) % inner_hull.size()] - outer_hull[i]);
int cnt = 0;
while (cnt < n and abs(geo::area_parallelogram(u, v1)) >= abs(geo::area_parallelogram(u, v2))) {
j = (j + 1) % inner_hull.size();
cnt++;
}
__int128 res = outer_area - abs(geo::area_parallelogram(u, v1));
ans = max(res, ans);
}
MT::fast<__int128>::outln(ans);
return;
}
int main()
{
//SetConsoleOutputCP(CP_UTF8);
//ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ = 1;
cin >> _;
fa(i, 1, _)solve(i);
return 0;
}