第一类数学归纳法。

证明：

$$1^2+2^2+\cdots +n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

一方面，当 $n=1$ 时，$1^2=\dfrac{1\times(2\times 1+1)(1+1)}{6}=1$ 成立。

另一方面，当 $n=k$ 时，

$$1^2+2^2+\cdots +k^2 = \dfrac{k(2k+1)(k+1)}{6}=\dfrac{2k^3+3k^2+k}{6}$$

当 $n=k+1$ 时，

$$1^2 + 2^2 + \cdots +(k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}={\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}}$$

$$\therefore 1^2+2^2+\cdots +k^2 = \dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}-k^2-2k-1$$

$$\therefore 1^2+2^2+\cdots +k^2 = \dfrac{2k^3+3k^2+k}{6}$$

既然证明了命题在 $n=1$ 的条件下成立，也证明了命题在 $n=k$ 的情况下成立时 $n=k+1$ 也成立，则命题成立。

$$1+2+\cdots + n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$

一方面，当 $n=1$ 时 $1=\dfrac{1\times 2}{2}$ 成立。

另一方面，当 $n=k$ 成立时 $1+2+\cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

而 $n=k+1$ 时 $1+2+\cdots +(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

移项可知 $1+2+\cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

既然证明了命题在 $n=1$ 的条件下成立，也证明了命题在 $n=k$ 的情况下成立时 $n=k+1$ 也成立，则命题成立。