整数 $n$ ，如果存在整数 $x,y,z$ 满足 $n=x^3 + y^3+ z^3-3xyz$ ，则称 $n$ 具有性质 $P$，在 $1, 5, 2013, 2024$ 中，那些数具有性质 $P$，那些数不具有性质 $P$？请说明理由。

题外话

问题并非我所解决，是由同学解决的。

下面的话语是我的胡言乱语，并不能当作可以获得满分的正确解答。

被同学嘲讽了。不过貌似确实很简单的样子。

在此膜拜一下。顺手写一篇解。

解：

原式

$= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-zx-zy)$

$=(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)-3xy-3xz-3yz]$

$=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy-xz-yz)]$

令 $a=x+y+z, b=xy-xz-yz.$

则 $a,b$ 均为整数。

原式 $=a(a^2-3b)$

$\because 2013=3 \times 11 \times 61$

$\therefore a,(a^2+3b) $ 必有一是 $3$ 的倍数。

分类讨论如下：

$\color{white}{ }$

$1 ^{\circ}$ $3|a,$ 则 $3|a^2.$

$\therefore 3|a^2-3b$

而 $3 \nmid (a^2-3b).$ 并不存在满足条件的 $a,b.$

$\color{white}{ }$

$2 ^{\circ}$ $3|a^2,$ 则 $3|a^2-3b, 3|a.$

而 $3 \nmid a.$ 并不存在满足条件的 $a,b.$

$\color{white}{ }$

综上所述，没有满足条件的 $a,b,c$ ，故 $2013$ 不具有性质 $P$。

$1$ 在 $x=1,y=0,z=0$ 时可以使原式成立，故满足性质 $P.$

$5$ 在 $x=1,y=2,z=2$ 时可以使原式成立，故满足性质 $P.$

$2024$ 在 $x=674,y=675,z=675$ 时可以使原式成立，故满足性质 $P.$

另外三数

也许你很想知道另外三个数我是如何得出来的。因为一次一次像证明无解一样做太过冗长。提供一种快速的凑数方法。

先给一张表吧。

1 1 1 -> 0
1 1 2 -> 4
1 2 2 -> 5
2 2 2 -> 0
2 2 3 -> 7
2 3 3 -> 8
3 3 3 -> 0
3 3 4 -> 10
3 4 4 -> 11
4 4 4 -> 0
4 4 5 -> 13
4 5 5 -> 14
5 5 5 -> 0
5 5 6 -> 16
5 6 6 -> 17
6 6 6 -> 0

左边三个数是 $x,y,z$ ，右边是代入原式之后的值。

可以看见，$x=y=z$ 时原式 $=0.$

但是如果有一个数增加 $1$ 会变成如下形式：

$$(x+1)^3 + x^3 + x^3 - 3(x+1)x^2 = 3x+1 $$

两个数增加 $1$ 会变成如下形式：

$$(x+1)^3 + (x+1)^3 + x^3 - 3(x+1)^2x = 3x+2 $$

由于另外三个数都不是 $3$ 的倍数，所以代入这两个式子进去马上就可以求出答案。甩出来就是满足条件的 $x,x+1.$

当然，如果你偏爱真相的话还是可以用正解作答的。在这里只不过是提供一种用谎言骗取考试时间的方法罢了。总之。

$\texttt{solved}$

补充说明

警告： 下面含有大量胡言乱语。但是我相信你一定会看得懂的。

应邱老追问。补充一段分类讨论之中的证明。

在 $a$ 是整数，$a^2$ 的每一个质因子出现个数都是 $a$ 中出现的两倍。这个是幂的运算部分。不多阐述。而 $a^2$ 由于 $a$ 是整数，所以每一个质因子都至少出现了两次。那么在 $a=\sqrt{a^2}$ 中每一个质因子出现次数都会减去一半，但是最后还是多于一次。

这样的话 $a$ 出现的因子和 $a^2$ 是一样的。

所以说 $3|a \iff 3|a^2$ 而 $3b$ 由于 $b$ 是整数也一定会含有一个因子 $3$ 两个数相加后一定也会有一个因子 $3$ 。这是乘法分配律。

如果你需要详细的解释那么我想应该是下面这样的：

设 $a=3k$，则 $a+3b=3k+3b=3(k+b)$ 而 $k,b$ 同样是整数所以加和同样也是整数。乘上 $3$ 之后当然就会有一个因子是 $3$ 。

你可能还很想知道为什么在 $2013$ 的不具性质 $P$ 的证明中， $a,(a^2+3b)$ 为什么必定会有一个含有因子 $3$ 吧？

那么我来告诉你。如果两个数都不含有因子 $3$ 的话，那么随之它们的乘积 $2013$ 也不应该会含有因子 $3.$ 和 $2010$ 一样，这些 $3$ 的倍数无论拆分成哪两个因子想成最终都仍然会有一个含有因子 $3.$

这个可以通过代数基本定理证明吧。但是我累了不想写了。如果不能证明的话那就说明我又开始胡思乱想了。虽然这句话本身就是胡言乱语的一部分。